Регуляризация Тихонова
6.3.3. Регуляризация Тихонова
Говоря о некорректных задачах, нельзя не отметить, что для их решения советским математиком Тихоновым был предложен чрезвычайно эффективный метод, называемый регуляризацией и основанный на привлечении дополнительной априорной информации о решении, которая может быть как качественной, так и количественной. Например, можно искать решение, максимально близкое к некоторому профилю, т. е. к некоторому вектору Y0. Концепция регуляризации сводится к замене исходной некорректной задачи на задачу о минимизации следующей функции:
?(Y,?) = |АY-B|+?|Y-Y0|, (6.5)
где ? — малый положительный параметр регуляризации, который необходимо подобрать определенным способом. Отметим, что, если рассматривать не дискретную, а непрерывную задачу (т. е. профиль у(х) вместо вектора Y), то ?(у(х),?) будет представлять собой не функцию, а функционал, исторически называемый функционалом Тихонова.
Минимизируя функцию ?(Y,?), можно получить регуляризованное решение Y (А), зависящее от параметра ?. Из (6.5) хорошо ясен его смысл: при малых ? ~ 0 проблема поиска функционала близка к (некорректной) исходной задаче, а при больших А, задача поставлена корректно, но ее решение далеко от решения исходной обратной задачи. А именно, чем больше параметр регуляризации, тем ближе решение к априорной оценке Y0. Очевидно, что на практике необходимо выбирать промежуточные ?.. Можно показать, что в линейном случае задача о минимизации функционала ?(Y,?) может быть сведена к следующей системе линейных алгебраических уравнений (решению линейных систем посвящена глава 8):
(ATA+?I)Y=ATB+?Y0. (6.6)
Примечание 1
Примечание 1
В общем (нелинейном) случае минимизация ?(Y,?) должна производиться по всем компонентам вектора Y, что представляет собой довольно громоздкую вычислительную задачу. Как уже отмечалось, поиск глобального экстремума осложняется не только благодаря многомерности задачи, но и из-за возможности существования нескольких локальных минимумов.
